Projectieve meetkunde en de fenomenologische methode

Bob heeft in dit laatste lesblok een college verzorgd over Projectieve meetkunde en hoe dit vak ondersteunend kan zijn bij fenomenologisch onderzoek.

Onderstaand een beschouwing van Bob over de projectieve meetkunde: "Doelstellingen en achtergronden van de projectieve meetkunde en haar ondersteunende verhouding tot de fenomenologische onderzoeksmethode."

Deze tekst is ooit ontwikkeld bij het fenomenologie-practicum aan de Wageningen Universiteit. Toegevoegd zijn - in onderstaande diavoorstelling - enkele afbeeldingen die het geheel wat kunnen verhelderen.

Tot slot geeft Bob een aantal meditatieve oefeningen om zelf te doen.

Zie ook: Naar het einde van de regenboog - Herman Meyvis, Via Libra – 2014, p.84 e.v.

Vergelijking met de gewone meetkunde

Dynamisch lijnennetwerk

De projectieve meetkunde is een nieuwe vorm van meetkunde. Ze heeft haar kiemen in de 17e eeuw (Girard Desargues en Johannes Kepler) maar is pas in de 19e eeuw tot ontwikkeling gebracht (o.a. door Jean Victor Poncelet en Karl von Staudt).

Ze onderscheidt zich van de gewone, klassieke of Euclidische meetkunde, die terug gaat op de Grieken. Ook onderscheidt zij zich van de analytische meetkunde, die eveneens in de 17e eeuw is ontstaan (René Descartes). Deze Cartesiaanse meetkunde heeft zich snel ontwikkeld en heeft talloze toepassing gevonden, o.a. in de natuurkunde en in de techniek.

Het ingaan op de verschillen van de projectieve meetkunde met de gewone meetkunde biedt de mogelijkheid om een korte, eerste karakterisering te geven:

1. In de gewone meetkunde en in het bijzonder in de analytische meetkunde, speelt het afstandsbegrip of lengtebegrip een centrale rol, terwijl dit begrip in de projectieve meetkunde van ondergeschikt belang is en het in eerste instantie veel meer gaat om fundamentele relaties tussen punten, lijnen en vlakken.

2. In de gewone meetkunde ontbreekt het dualiteits- en/of polariteitbeginsel, terwijl dit in de projectieve meetkunde juist zeer centraal staat (evenals in de fenomenologie). Dit komt o.a. tot uitdrukking in allerlei meetkundige uitspraken of wetmatigheden die in hun z.g. duale of polaire vorm ook geldigheid bezitten. Bijvoorbeeld geldt dit in de vlakke projectieve meetkunde:
"Twee punten bepalen één lijn" en "twee lijnen bepalen één punt".
In de ruimtelijke projectieve meetkunde geldt b.v.:
"Drie punten die niet op één lijn liggen bepalen een vlak" en
"Drie vlakken die niet door één lijn gaan, bepalen één punt"
( Nu zijn de begrippen punt en vlak te verwisselen, de uitdrukkingen “liggen op” en “gaan door” zijn eveneens polair, terwijl het begrip lijn gelijk blijft, maar het de ene keer als puntenrij gedacht wordt en de andere keer als vlakkenwaaier)

3. In de gewone meetkunde speelt het oneindige een ondergeschikte rol; er wordt hier meestal gewerkt met eindige lijnen (lijnstukken) driehoeken, vierhoeken, cirkels enz. In de projectieve meetkunde wordt steeds gewerkt met oneindige elementen en speelt het oneindige zelfs een "centrale" rol.

De nu volgende, verdere karakterisering van de projectieve meetkunde volgt direct de oefenstappen in de fenomenologie, waarbij de projectieve meetkunde een ondersteunende functie heeft:

4. De eerste stap in de fenomenologie is er op gericht om tot exacte, waarheidsgetrouwe voorstellingen te komen van verschijnselen en organismen in de natuur. De projectieve meetkunde versterkt het ruimtelijk voorstellen dat hierbij nodig is.

5. De tweede stap in de fenomenologie is er op gericht om tot een "beweeglijk of levendig beeld" te komen van hoe een organisme groeit en zich ontwikkelt in de tijd. De projectieve meetkunde sluit hier direct bij aan, omdat het een beweeglijke of levende meetkunde is; het gaat hierbij niet om gefixeerde driehoeken, vierkanten, cirkels, ellipsen enz., maar om de wetmatige groei en metamorfose van dergelijke geometrische entiteiten. Het beweeglijke voorstellen wordt geschoold.
Ook geldt, dat zowel de fenomenologie als de projectieve meetkunde een beroep doen op de ontwikkeling van het vermogen om een verschijnsel of organisme vanuit steeds weer andere, uiterlijke (ruimtelijke) standpunten en innerlijke (begripsmatige) gezichtspunten te benaderen.
Ook het beweeglijke denken van relaties tussen elementen wordt geschoold.

6. Een volgende oefenstap in de fenomenologie is dat men behalve de gangbare, objectieve 'toeschouwersverhouding' tot een verschijnsel of organisme ook een beweeglijke 'meelevende verhouding' ontwikkelt. Juist het vermogen om afwisselend 'buitenstaander' of 'binnenstaander' te zijn t.o.v. een organisme (c.q. het vermogen tot inleven -en het vermogen afstand te nemen) kan men middels deze meetkunde op een heldere, bewuste en objectieve manier ontwikkelen.

7. In de fenomenologie is het van belang dat men naast de ontwikkeling van het hele aanschouwelijke of 'Gegenständliche' denken ook een denken ontwikkelt dat zich juist los maakt van de ruimtelijke voorstellingen en dat wel als 'zintuigvrij-denken' of 'zuiver-denken' ("reines Denken") omschreven wordt. Ook hierbij heeft de projectieve meetkunde een ondersteunende taak, ook al omdat de meetkundige begrippen, zoals punt en lijn, in wezen niet zintuiglijk zijn.

Tot zover is vooral gewezen op het scholingskarakter van de projectieve meetkunde in verband met de fenomenologie. Daarnaast wordt gewezen op de mogelijke toepassingen van de projectieve meetkunde in de fenomenologische natuurwetenschappen. Zo openen het werk van G. Adams en O. Whicher ( o.a. 'The plant between sun and earth' of 'Die Pflanze im Raum und Gegenraum') en het werk van L.Edwards (o.a. 'The field of form') veelbelovende perspectieven voor een projectief-geometrische fundering van morfologische processen, waarin aan perifeer-werkende, vomscheppende levenskrachten een exacte grondslag gegeven kan worden.

Oefenstappen in de fenomenologie

Groeiende en omstulpende cirkel

De nu volgende, verdere karakterisering van de projectieve meetkunde volgt direct de oefenstappen in de fenomenologie, waarbij de projectieve meetkunde een ondersteunende functie heeft:

Zo openen het werk van G. Adams en O. Whicher ( o.a. 'The plant between sun and earth' of 'Die Pflanze im Raum und Gegenraum') en het werk van L.Edwards (o.a. 'The field of form') veelbelovende perspectieven voor een projectief-geometrische fundering van morfologische processen, waarin aan perifeer-werkende, vomscheppende levenskrachten een exacte grondslag gegeven kan worden.

3a. Ruimte en tegenruimte

Statisch

3a. Ruimte en tegenruimte

Statisch

3b. Ruimte en tegenruimte

Dynamisch: wegstromende punten, toestromende vlakken

1. Dynamisch lijnennetwerk

Opgebouwd vanuit drie lijnenwaaiers

2. Groeiende en omstulpende cirkel

Dynamische voorstelling van ruimte en tegenruimte

3b Ruimte en tegenruimte (dynamisch)

De eerste (dubbele) afbeelding van ruimte en tegenruimte (3a) is nogal statisch. De tweede afbeelding (3b) moet dynamisch gedacht worden:

het gaat om de vanuit een fysieke oorsprong (centrumpunt) wegschietende punten naar het fysieke oneindige en om de vanuit een etherische oorsprong (wereldperiferie) weg-bewegende vlakken naar het etherische oneindige (een vlakkenschoof ook wel sterpunt of het "All-beziehende Punkt" genoemd).

Meditatieve oefeningen om zelf te doen

1.Visualiseer op verschillende manieren de 7 grondstructuren:

Lijnenwaaier
Puntenrij - Vlakkenwaaier
Lijnenveld - Lijnenschoof
Puntenveld – Vlakkenschoof
Doe deze oefeningen op een statische manier en op een dynamische manier. Statisch door een eindig aantal elementen (bijvoorbeeld vier of vijf) te nemen, dynamisch door één element te nemen en dit te bewegen: transleren (schuiven) of roteren (draaien) en/of combinaties daarvan)

2.Waar kom je deze grondstructuren in een onvolmaakte vorm tegen in de natuur? (Gerichte associatie-oefening: zoals je in stengels, bladstelen en nerven het lijnachtige kunt herkennen, in zaden, kiemen en stengelknopen het puntachtige kunt herkennen en in bladschijven het vlakachtige.

3.Visualiseer de volgende polaire wetmatigheden:

Een punt verbinden met een puntenrij geeft een lijnenwaaier.
Een vlak snijden met een lijnenwaaier geeft een puntenrij.

Een punt verbinden met een lijnenveld geeft een vlakkenschoof.
Een vlak snijden met een lijnenschoof geeft een punten veld.

Een punt verbinden met een puntenrij geeft een lijnenwaaier.
Een vlak snijden met een vlakkenwaaier geeft een lijnenwaaier.

Een punt verbinden met een puntenveld geeft een lijnenschoof.
Een vlak snijden met een vlakkenschoof geeft een lijnenveld.

4. Stuur de dragende elementen van de grondstructuren naar het oneindige en visualiseer het bijzondere geval van iedere grondstructuur. (Als voorbeeld kunnen we de dragende lijn van een vlakkenwaaier naar het oneindige brengen en zien dat er een verzameling evenwijdige vlakken ontstaat; deze bijzondere vlakkenwaaier is de polaire tegenhanger van een puntenrij door de fysieke oorsprong en daarmede te beschouwen als een van de coordinaatassen van de tegenruimte)

5. Stuur punten vanuit het fysieke oorsprongspunt naar het fysieke oneindige en stuur vlakken vanuit het etherische oorsprongsvlak naar het etherische oneindige (d.w.z. das Unendliche im Innern of het sterpunt)
Probeer de tegengestelde gesten van het radieel uitstromende van de punten en het sferisch omhullende van de vlakken steeds dieper te beleven.